Mô hình viscoelastic là gì? Các bài báo nghiên cứu khoa học

Các đại lượng cơ học đặc trưng

Ứng suất (stress) và biến dạng (strain) là hai đại lượng cơ bản, được biểu diễn theo thời gian: $\sigma(t),\;\varepsilon(t)$. Biến dạng có thể là tổng hợp của phần đàn hồi và phần nhớt, phụ thuộc vào lịch sử ứng suất trước đó.

Modul phức (dynamic modulus) được dùng để mô tả đáp ứng khi vật liệu bị dao động điều hòa: $E^*(\omega) = E'(\omega) + i\,E''(\omega)$, trong đó E′ là modul lưu trữ năng lượng (storage modulus), E″ là modul tổn hao (loss modulus). Thông số này phụ thuộc vào tần số $\omega$ và nhiệt độ.

Hằng số thời gian (relaxation time $\tau$), hằng số nhớt $\eta$, modul đàn hồi (E) là các hệ số quyết định cơ chế creep và relaxation; nghiên cứu bằng Dynamic Mechanical Analysis (DMA) cho phép đo E′, E″ và xác định các tham số này. Các mô hình thực nghiệm cũng thường biểu diễn độ trễ biến dạng và ứng suất theo các hàm số mũ và phân số (fractional) để phù hợp thực tế. ([docteur L. Dunn, “Introduction to Viscoelasticity”](https://osf.io/s5u8j/download))

Các mô hình cơ học cơ bản

Mô hình Maxwell: lò xo (spring) và bình nhớt (dashpot) nối tiếp nhau (series). Phương trình đặc trưng cho Maxwell là $\frac{1}{E}\frac{d\sigma}{dt} + \frac{\sigma}{\eta} = \frac{d\varepsilon}{dt}$. Mô hình Maxwell mô tả tốt relaxation nhưng có hạn chế trong mô phỏng creep dài hạn vì biến dạng tăng tuyến tính không ngừng khi ứng suất duy trì.

Mô hình Kelvin‑Voigt: lò xo và dashpot nối song song (parallel). Phương trình tính stress‑strain dạng $\sigma(t) = E \varepsilon(t) + \eta \frac{d\varepsilon(t)}{dt}$. Mô hình này mô phỏng creep tốt nhưng mô tả relaxation sau khi bỏ ứng suất có hạn chế.

Mô hình Zener (Standard Linear Solid): kết hợp Maxwell và Kelvin‑Voigt để có khả năng mô tả cả creep và relaxation. Cấu trúc gồm một lò xo nối tiếp với tổ hợp lò xo + dashpot song song. Các tham số mô hình: E₁, E₂, η; phương trình vi phân cao hơn so với hai mô hình đơn giản trước đó.

Phân tích trong miền thời gian và miền tần số

Phân tích viscoelastic có thể được thực hiện trong miền thời gian hoặc miền tần số, tùy thuộc vào loại tải trọng và mục tiêu mô phỏng. Trong miền thời gian, các phương trình vi phân được dùng để mô tả quan hệ ứng suất – biến dạng, ví dụ như mô hình Maxwell hoặc Zener:

$\frac{d\varepsilon}{dt} = \frac{\sigma}{\eta} + \frac{1}{E} \frac{d\sigma}{dt}$

Trong miền tần số, phản ứng của vật liệu với tải dao động điều hòa được biểu diễn bằng modul động phức $E^*(\omega) = E' + iE''$, với:

• $E'(\omega)$: mô tả khả năng tích trữ năng lượng đàn hồi
• $E''(\omega)$: mô tả tổn hao năng lượng do nhớt

Đồ thị phổ viscoelastic có thể thể hiện mối quan hệ giữa E′, E″ và tần số hay nhiệt độ, được xác định thực nghiệm bằng kỹ thuật DMA (Dynamic Mechanical Analysis).

Hiện tượng relaxation và creep

Hai hiện tượng đặc trưng nhất của vật liệu viscoelastic là relaxation và creep. Khi một vật liệu bị nén hoặc kéo rồi giữ cố định biến dạng, ứng suất sẽ giảm dần theo thời gian – hiện tượng này gọi là relaxation. Ngược lại, khi giữ cố định ứng suất, biến dạng sẽ tăng dần – gọi là creep.

Bảng so sánh hai hiện tượng:

Các mô hình viscoelastic cho phép tính toán chính xác biến dạng theo thời gian, cần thiết trong thiết kế cấu trúc sử dụng lâu dài hoặc chịu tải dao động như tấm cách âm, lớp asphalt và mô sinh học.

Phụ thuộc nhiệt độ và quy tắc thời gian - nhiệt độ

Phản ứng viscoelastic của vật liệu rất nhạy với nhiệt độ. Vật liệu thường thể hiện đặc tính dẻo hơn ở nhiệt độ cao và cứng hơn ở nhiệt độ thấp. Quy tắc dịch chuyển thời gian – nhiệt độ (Time–Temperature Superposition – TTS) được dùng để mở rộng kết quả thí nghiệm sang dải thời gian rộng hơn.

Biểu thức dịch chuyển nhiệt độ điển hình là phương trình WLF (Williams–Landel–Ferry):

$\log(a_T) = -\frac{C_1 (T - T_r)}{C_2 + (T - T_r)}$

Trong đó:

• $a_T$: hệ số dịch chuyển
• $T_r$: nhiệt độ tham chiếu
• $C_1, C_2$: hằng số vật liệu phụ thuộc polymer

Kỹ thuật này thường được dùng trong phân tích vật liệu polymer như polybutadiene, epoxy, polyurethane…

Ứng dụng mô hình hóa trong mô phỏng số

Các phần mềm mô phỏng như ABAQUS, ANSYS, COMSOL đã tích hợp mô hình viscoelastic trong module phân tích vật liệu rắn. Mô phỏng FEM (phần tử hữu hạn) sử dụng các thông số đo thực nghiệm (E, η, τ…) để mô hình hóa độ biến dạng phụ thuộc thời gian, tính tổn hao năng lượng và ứng suất nội bộ trong vật liệu mềm hoặc composite.

Các mô hình Maxwell bậc cao hoặc Prony series được sử dụng để khớp dữ liệu thí nghiệm và mô phỏng đáp ứng vật liệu. Prony series có dạng:

$E(t) = E_\infty + \sum_{i=1}^{n} E_i e^{-t/\tau_i}$

Thông qua việc fitting chuỗi số mũ này từ dữ liệu DMA, người dùng có thể mô tả chính xác cả quá trình creep và relaxation.

Thách thức và hướng nghiên cứu hiện đại

Một trong những thách thức lớn là mô hình hóa chính xác các vật liệu có tính phi tuyến (nonlinear viscoelasticity), chẳng hạn như mô sinh học, polymer siêu dẻo hoặc cao su kỹ thuật cao. Trong trường hợp này, các mô hình tuyến tính cổ điển như Kelvin–Voigt hay Maxwell không còn phù hợp.

Các hướng nghiên cứu mới bao gồm:

• Mô hình viscoelastic phi tuyến dựa trên lý thuyết hyperelastic hoặc phân tử
• Tích hợp học máy (machine learning) vào dự đoán phản ứng vật liệu
• Mô hình viscoelastic đa trường: kết hợp với trường nhiệt, điện hoặc từ

Đặc biệt, việc xây dựng các mô hình học sâu (deep learning-based models) để thay thế biểu thức vi phân truyền thống đang là xu hướng mới trong thiết kế vật liệu kỹ thuật số.

Tài liệu tham khảo

1. ScienceDirect – Viscoelastic Materials
2. Nature Materials – Nonlinear Viscoelasticity in Polymers
3. COMSOL – Viscoelasticity Module
4. ANSYS Mechanical – Viscoelastic Modeling
5. ScienceDirect – Time-temperature Superposition
6. Dunn, L. – Introduction to Viscoelasticity (OSF)
7. PNAS – Soft Tissue Mechanics and Viscoelastic Models